本系列主要为笔者常微分方程课（by 647老师）的课程笔记，可能夹杂一些习题。

(资料图)

由于笔者不是数学专业学生，写作过程中难免出现纰漏，欢迎批评指正。

参考书目：

《常微分方程》北京大学出版社 柳彬 著

《Ordinary Differential Equations (2nd Edition)》 Philip Hartman 著

《常微分方程习题集》上海科学技术出版社 A.Ф.菲利波夫 著

第一章内容较少，因此直接从第二章开始（其实是因为第一节课没听qwq）。

2.1 恰当方程

首先说明，若无特殊说明，本章只研究只含有一个未知函数的ODE，即可化为形如的方程。

恰当方程的定义：对于方程，若存在二元函数使得，则称方程为恰当方程，也叫全微分方程，函数称为势函数。

从别名“全微分方程”可以看出，这类方程可以写成某个函数的全微分等于零的形式，因此不难得出恰当方程通积分为。问题的重难点在于如何判断方程是否为恰当方程，以及如何求出势函数。

不难看出，恰当方程与平面中第一类曲线积分有着十分密切的联系。由微积分中Green公式以及积分与路径无关的知识，容易得出以下引理：

引理2.1.1 设。

①若存在使得，则；

②若且为单连通区域，则，为内任意一点。

上述引理给出了恰当方程的判断和求解方法。下面是一个简单的例子。

例2.1.1 求解方程.

由可知该方程为恰当方程，取得势函数

.

故通积分为，为常数。

2.2 可分离变量的方程

在实际问题中，非恰当方程更为常见。本节主要讨论一类非常重要的非恰当方程——可分离变量的方程，以及可变换为分离变量型方程的方程。

考虑如下形式的方程：，两边同时除以可得

记，，则原方程变为。此时变量和成功分离，我们可以直接写出它的通积分

.

下面通过几个实际问题的例子来理解分离变量的方法。

例2.2.1(Malthus人口模型) 求解方程.

这个方程描述了一种最简单的人口增长模型：人口增长速率随人口数量增长而增大，且大致呈线性关系。

我们将写成，分离变量并积分可得

变换形式可得解，其中为时间时的人口数。通过这一结果我们看出，在该模型的假设下，人口随时间呈现指数增长。

例2.2.2(Logistic模型) 求解方程.

该模型相比上一模型增加了新的假设：资源的总量是有限的，当人口数目超过一定限度后增长会放缓，并用二次函数估计增长速率与人口基数的关系。

同样利用分离变量法可得

积分可得，其中.

对上述解求极限可得，表明在该模型假设下人口增长最终会趋于某一特定值，而不会无限制地增长下去。

另外，本题在分离变量时需要对除数进行是否为零的讨论以避免漏掉平凡解。本题有和两个平凡解，它们的意义也很明确：人口初值为零，那么总人口数将一直为零；人口初值为稳定时的极限值，则总人口将稳定在这一值上。

例2.2.3(Lotka-Volterra模型) 由以为自变量的方程组求解和的关系.

这个模型描述了一个相对封闭的系统中两种动物的种群数量变化情况：动物A以动物B为唯一食物，而动物B的食物数量充足。没有动物B时动物A数量下降，没有动物A时动物B数量上升，且符合Malthus模型。

由题中两个方程，利用链式法则可得. 分离变量可得

积分得. 下面对这一函数的性质进行初步的探讨。

令，有，可得其唯一驻点，且容易验证该点处Hesse矩阵正定，故为极小值点，即；当时，可以证明曲线为中的一条封闭曲线，为周期函数。对应实际问题中的场景，两种动物的种群数量会此消彼长，呈现周期性变化。

此外还有一类方程可以通过换元转化为变量分离方程求解，称为次齐次方程。

次齐次函数：若满足对任意实数有，则称为次齐次函数。

次齐次方程：若函数与均为次齐次函数，则方程称为次齐次方程。（注意与后面的齐次线性方程不同）

解法：设，则，，. 于是原方程变为

分离变量可得

直接写出通积分即可。

例2.2.4 求解方程.

令，则，原方程化为.

分离变量得，积分可得，即，化为极坐标可得.

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